在2022年考研数学二中，第15题是一道关于多元函数微积分的题目。题目要求考生求出给定函数在特定点的全微分。具体来说，题目可能涉及以下内容：
已知函数 \( f(x, y) = x^2e^y \)，求 \( f \) 在点 \( (1, 0) \) 处的全微分 \( df \)。
解答过程如下：
首先，对 \( f \) 分别对 \( x \) 和 \( y \) 进行偏导数计算：
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^y \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2e^y \]
然后，将点 \( (1, 0) \) 代入上述偏导数中，得到：
\[ \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1,0)} = 2 \cdot 1 \cdot e^0 = 2 \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(1,0)} = 1^2 \cdot e^0 = 1 \]
最后，根据全微分的定义，\( df \) 可以表示为：
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \]
代入计算结果，得到：
\[ df = 2dx + dy \]
所以，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 0) \) 处的全微分 \( df \) 为 \( 2dx + dy \)。
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