在解决数学1考研中的定积分问题时，以下是一个经典例题的解答过程：
题目：计算定积分 $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx$。
解答：
首先，识别被积函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 是一个二次多项式，可以尝试将其分解。注意到 $f(x)$ 可以写作 $(x+1)^2$，因为 $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$。
接下来，使用基本的积分公式 $\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），对 $(x+1)^2$ 进行积分。
$$
\int (x+1)^2 \, dx = \int x^2 \, dx + 2\int x \, dx + \int 1 \, dx
$$
分别计算这三个积分：
1. $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$
2. $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$
3. $\int 1 \, dx = x$
将这些结果相加，得到：
$$
\int (x+1)^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C
$$
现在，我们需要计算定积分 $\int_0^1 (x+1)^2 \, dx$。根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分可以表示为：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。在这里，$F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x$。
将上限 $1$ 和下限 $0$ 代入 $F(x)$：
$$
F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}
$$
$$
F(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0
$$
因此，定积分的值为：
$$
\int_0^1 (x+1)^2 \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3}
$$
所以，$\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{7}{3}$。
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