在考研数学二中，质心坐标问题通常涉及一个平面区域或空间立体的质量分布。质心坐标的计算公式如下：
对于平面区域 \( D \) 内的质量分布函数 \( \rho(x, y) \)，质心的 \( x \) 坐标 \( \bar{x} \) 和 \( y \) 坐标 \( \bar{y} \) 分别由以下积分公式给出：
\[ \bar{x} = \frac{\iint\limits_D x \rho(x, y) \, dx \, dy}{\iint\limits_D \rho(x, y) \, dx \, dy} \]
\[ \bar{y} = \frac{\iint\limits_D y \rho(x, y) \, dx \, dy}{\iint\limits_D \rho(x, y) \, dx \, dy} \]
假设有一个由 \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( y = x \) 和 \( y = 2x \) 所围成的区域 \( D \)，质量分布函数为 \( \rho(x, y) = x^2 + y^2 \)。要求此区域的质心坐标。
首先，我们需要计算 \( \iint\limits_D \rho(x, y) \, dx \, dy \) 和 \( \iint\limits_D x \rho(x, y) \, dx \, dy \)，\( \iint\limits_D y \rho(x, y) \, dx \, dy \)。
计算结果为：
\[ \iint\limits_D \rho(x, y) \, dx \, dy = \int_0^2 \int_0^{2x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx \]
\[ \iint\limits_D x \rho(x, y) \, dx \, dy = \int_0^2 \int_0^{2x} x(x^2 + y^2) \, dy \, dx \]
\[ \iint\limits_D y \rho(x, y) \, dx \, dy = \int_0^2 \int_0^{2x} y(x^2 + y^2) \, dy \, dx \]
完成这些积分后，代入质心坐标公式计算即可得到质心的坐标。
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