在深入研究数学期望这一概念的过程中，考研真题为我们提供了丰富的实战案例。以下是一道典型的数学期望考研真题：
真题： 设随机变量 \(X\) 的概率分布为：
\[ P\{X = k\} = \frac{1}{2^{k+1}}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots \]
求 \(E(X^2)\)。
解答过程：
首先，计算 \(E(X)\)：
\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P\{X = k\} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k+1}} \]
接下来，计算 \(E(X^2)\)：
\[ E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot P\{X = k\} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^{k+1}} \]
为了计算这两个无穷级数，我们可以利用幂级数求和的方法。具体步骤如下：
通过求解级数 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k+1}} \) 和 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^{k+1}} \)，可以得到 \( E(X) \) 和 \( E(X^2) \) 的值。
总结：
本题通过考查对数学期望的深刻理解和应用，锻炼了考生对幂级数求和技巧的掌握。掌握这些技巧对于应对考研数学中的相关问题至关重要。
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