在19考研数学一中，第三题要求考生求解一个不定积分。题目如下：
已知函数 \( f(x) = \frac{x^2}{1+x^4} \)，求不定积分 \( \int \frac{x^2}{1+x^4} \, dx \)。
解题思路如下：
首先，观察被积函数 \( \frac{x^2}{1+x^4} \)，可以发现分子 \( x^2 \) 与分母 \( 1+x^4 \) 之间并没有简单的凑微分关系。因此，我们需要考虑其他方法。
考虑到分母 \( 1+x^4 \) 的形式，我们可以尝试将其分解为两个平方的和，即 \( 1+x^4 = (1+2x^2+x^4) - 2x^2 \)。这样，我们可以将原积分分解为：
\[ \int \frac{x^2}{1+x^4} \, dx = \int \frac{x^2}{(1+2x^2+x^4) - 2x^2} \, dx \]
接下来，我们注意到 \( 1+2x^2+x^4 \) 可以写成 \( (1+x^2)^2 \)，因此原积分可以进一步转化为：
\[ \int \frac{x^2}{(1+x^2)^2 - 2x^2} \, dx \]
现在，我们可以尝试凑微分。观察分母，发现 \( 2x^2 \) 可以通过微分 \( 2x \, dx \) 得到。于是，我们对分子 \( x^2 \) 进行凑微分，得到 \( x \, dx \)。
这样，原积分可以写为：
\[ \int \frac{x}{(1+x^2)^2 - 2x} \, dx \]
现在，我们对分母进行因式分解，得到：
\[ \int \frac{x}{(1+x^2)^2 - 2x} \, dx = \int \frac{x}{(1+x^2)(1-x^2)} \, dx \]
接着，我们利用部分分式分解法，将分式 \( \frac{x}{(1+x^2)(1-x^2)} \) 分解为两个简单的分式之和。经过计算，我们得到：
\[ \frac{x}{(1+x^2)(1-x^2)} = \frac{A}{1+x^2} + \frac{B}{1-x^2} \]
通过解方程组，我们得到 \( A = \frac{1}{2} \) 和 \( B = -\frac{1}{2} \)。因此，原积分可以写为：
\[ \int \frac{x}{(1+x^2)(1-x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x^2} \, dx \]
这两个积分都是基本的积分公式，可以轻松计算。最终，我们得到原积分的解为：
\[ \int \frac{x^2}{1+x^4} \, dx = \frac{1}{2} \arctan(x) + \frac{1}{4} \ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C \]
其中，\( C \) 是积分常数。
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