2018年考研数学真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. A
5. D
6. B
7. C
8. A
9. D
10. B
二、填空题
11. 3
12. 2
13. 1
14. 0
15. 1
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0。因此，f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增，在(-1, 1)上单调递减。又因为f(-1) = -2，f(1) = -2，所以f(x)的极小值为-2，无极大值。
17. 解：由题意知，a^2 + b^2 = 1，则a^2 = 1 - b^2。由二倍角公式得sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos^2α - sin^2α。代入得sin2α = 2sinα√(1 - sin^2α)，cos2α = √(1 - sin^2α) - sin^2α。由sin2α + cos2α = 0得2sinα√(1 - sin^2α) + √(1 - sin^2α) - sin^2α = 0，整理得sinα = √(1 - sin^2α)。两边平方得sin^2α = 1 - sin^2α，解得sinα = √2/2。因为0 < α < π/2，所以α = π/4。
18. 解：由题意知，x^2 + y^2 = 1，则x^2 = 1 - y^2。由二倍角公式得sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x。代入得sin2x = 2sinx√(1 - sin^2x)，cos2x = √(1 - sin^2x) - sin^2x。由sin2x + cos2x = 0得2sinx√(1 - sin^2x) + √(1 - sin^2x) - sin^2x = 0，整理得sinx = √(1 - sin^2x)。两边平方得sin^2x = 1 - sin^2x，解得sinx = √2/2。因为0 < x < π/2，所以x = π/4。
四、证明题
19. 证明：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0。因此，f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增，在(-1, 1)上单调递减。又因为f(-1) = -2，f(1) = -2，所以f(x)的极小值为-2，无极大值。
五、应用题
20. 解：设直线L的方程为y = kx + b。由题意知，直线L过点P(1, 2)，则2 = k + b。又因为直线L与圆C：x^2 + y^2 = 1相切，所以圆心到直线L的距离等于圆的半径，即√(1 + k^2) = 1。解得k = ±√2/2。代入2 = k + b得b = 2 - k = 2 ± √2/2。因此，直线L的方程为y = ±√2/2x + 2 ± √2/2。
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