今日考研数学挑战题来袭，共12道题，涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大模块。快来检验你的数学实力吧！
1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，求 \( f'(x) \)。
2. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，\( A \) 的行列式为0，证明 \( A \) 的秩小于 \( n \)。
3. 设 \( X \) 为连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & x \in [0, 1] \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \)，求 \( X \) 的分布函数 \( F(x) \)。
4. 已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
5. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求 \( f'(x) \)。
6. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，\( A \) 的行列式为0，证明 \( A \) 的秩小于 \( n \)。
7. 设 \( X \) 为连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & x \in [0, 1] \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \)，求 \( X \) 的分布函数 \( F(x) \)。
8. 已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
9. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求 \( f'(x) \)。
10. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，\( A \) 的行列式为0，证明 \( A \) 的秩小于 \( n \)。
11. 设 \( X \) 为连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & x \in [0, 1] \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \)，求 \( X \) 的分布函数 \( F(x) \)。
12. 已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
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