2016年考研数学一第19题是一道综合应用题，涉及到了极限、导数和积分的知识。题目内容大致如下：
已知函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)。若 \( F(x) = \int_0^x f(t) \, dt \)，求证：存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( F'(\xi) = \frac{1}{2} \)。
解答过程如下：
1. 根据题意，\( F(x) \) 是 \( f(x) \) 在区间 \([0,x]\) 上的积分，因此 \( F'(x) = f(x) \)。
2. 要证明存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( F'(\xi) = \frac{1}{2} \)，即证明存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f(\xi) = \frac{1}{2} \)。
3. 由于 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，根据介值定理，必存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f(\xi) = \frac{1}{2} \)。
4. 因此，存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( F'(\xi) = \frac{1}{2} \)。
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