在2018年考研数学三的真题中，考生们遭遇了多道考验逻辑思维和计算能力的难题。题目涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块，充分体现了考研数学的综合性、应用性和创新性。以下是对几道典型题目的解析：
1. 高等数学部分：
- 题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$的极值。
- 解析：首先对函数求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。然后计算二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，在$x = 1$处$f''(1) = 0$，无法判断极值类型；在$x = \frac{2}{3}$处$f''(\frac{2}{3}) = 0$，无法判断极值类型。因此，需要结合函数图像进一步分析。
2. 线性代数部分：
- 题目：已知矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，求矩阵$A$的特征值和特征向量。
- 解析：首先计算矩阵$A$的特征多项式$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 6)$，得到特征值$\lambda_1 = 1$和$\lambda_2 = 6$。然后分别求出对应特征向量。
3. 概率论与数理统计部分：
- 题目：设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，求$P(X = k)$的表达式。
- 解析：根据泊松分布的定义，有$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$。
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