在探索天才基本法的考研数学题时，我们不禁对那些深邃的逻辑和精妙的解题技巧肃然起敬。以下是一道典型的考研数学题，旨在锻炼考生的逻辑思维和计算能力：
题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求证：对于任意的$x\in\mathbb{R}$，$f(x)\geq 0$。
解题过程：
1. 首先，对$f(x)$求导，得$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
3. 对$f'(x)$再次求导，得$f''(x)=6x-6$。
4. 当$x=1$时，$f''(1)=0$，为极值点。
5. 当$x<1$时，$f''(x)<0$，$f(x)$在$x=1$处取得局部最大值。
6. 当$x>1$时，$f''(x)>0$，$f(x)$在$x=1$处取得局部最小值。
7. 计算$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1-6=-4$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\left(\frac{2}{3}\right)^2+4\cdot\frac{2}{3}-6=-\frac{16}{27}$。
8. 由于$f(x)$在$x=1$和$x=\frac{2}{3}$处取得局部最小值，且$f(1)<0$，$f\left(\frac{2}{3}\right)<0$，故对于任意的$x\in\mathbb{R}$，$f(x)\geq 0$。
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