在众多考研数学题中，压轴题往往考验着考生的综合能力。以下是一道典型的考研数学压轴题及其答案：
题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，证明：存在唯一的实数$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$。
答案：
1. 首先，观察函数$f(x)$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。
2. 通过分析$f'(x)$的符号，可以得出$f(x)$在$x=1$处取得局部极小值，在$x=\frac{2}{3}$处取得局部极大值。
3. 计算$f(1)=-4$和$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{27}$，可知$f(1)<0$且$f\left(\frac{2}{3}\right)>0$。
4. 根据零点定理，存在唯一的实数$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$。
5. 综上所述，存在唯一的实数$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$。
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