2020年考研数学数二第6题是一道关于极限与导数的综合性问题。题目如下：
已知函数\( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求\( f'(1) \)。
解答思路：
首先，观察函数在\( x = 1 \)处是否连续，然后使用洛必达法则求导。
详细解答步骤：
1. 检查函数在\( x = 1 \)处是否连续。
由于\( x^2 - 1 \)在\( x = 1 \)处为零，我们需要检查\( f(x) \)在\( x = 1 \)处的极限是否存在。
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x^2 - 3)}{x(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3}{x - 1} = -2 \]
因此，函数在\( x = 1 \)处连续。
2. 应用洛必达法则求导。
由于\( f'(1) \)的分子和分母在\( x = 1 \)处均为零，我们可以使用洛必达法则。
\[ f'(x) = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 3}{2x} \]
\[ f'(1) = \frac{3 \cdot 1^2 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{0}{2} = 0 \]
所以，\( f'(1) = 0 \)。
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