在考研数学线性代数的第一问中，考生通常会面对如下问题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解题步骤如下：
1. 首先，求矩阵 \( A \) 的特征多项式。特征多项式由 \( \det(A - \lambda I) \) 给出，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。计算 \( A - \lambda I \)：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \]
2. 然后，计算行列式 \( \det(A - \lambda I) \)：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 3 \times 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 2 \]
3. 解特征多项式 \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \) 以找到特征值。这是一个二次方程，可以用求根公式解决：
\[ \lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \times 2}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} \]
4. 最后，对于每个特征值 \( \lambda \)，求出对应的特征向量。设 \( \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \)，\( \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \)。将 \( \lambda \) 代入 \( (A - \lambda I)v = 0 \) 中求解，其中 \( v \) 是特征向量。
例如，对于 \( \lambda_1 \)，我们有：
\[ \begin{bmatrix} 1 - \lambda_1 & 2 \\ 3 & 4 - \lambda_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解这个方程组得到 \( x \) 和 \( y \) 的值，从而得到一个特征向量。
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