在考研综合数学题的真题中，我们常常遇到各种题型，如极限、导数、积分、线性代数和概率统计等。以下是一道典型的考研综合数学题真题：
题目：设函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求$f'(x)$。
解答过程：
首先，我们要求出$f(x)$的导数。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
将$f(x)$代入上式，得：
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{1}{(x+\Delta x)^2-1}-\frac{1}{x^2-1}}{\Delta x}$$
接下来，我们进行通分和化简：
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x^2-1)-(x^2-1+\Delta x^2+2x\Delta x)}{\Delta x((x+\Delta x)^2-1)(x^2-1)}$$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-\Delta x^2-2x\Delta x}{\Delta x((x+\Delta x)^2-1)(x^2-1)}$$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-\Delta x(\Delta x+2x)}{\Delta x((x+\Delta x)^2-1)(x^2-1)}$$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-\Delta x+2x}{((x+\Delta x)^2-1)(x^2-1)}$$
最后，我们取极限：
$$f'(x)=\frac{-0+2x}{((x+0)^2-1)(x^2-1)}$$
$$f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)(x^2-1)}$$
$$f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^2}$$
所以，本题的答案是$f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^2}$。
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