19年考研数学第一题考查了极限的基本概念，具体内容如下：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
解答过程：
首先，根据极限的线性性质，我们可以将原式拆分为两部分：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3} - \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3}.$$
接下来，我们分别求解这两个极限。
对于第一个极限，我们可以利用等价无穷小替换，即当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$
对于第二个极限，由于分母和分子同时趋向于0，我们可以利用洛必达法则进行求解：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3} \cdot \infty = \infty.$$
综合以上两个极限，我们得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \infty - \infty.$$
由于这是一个“$\infty - \infty$”型未定式，我们需要进一步分析。注意到当 $x$ 趋向于0时，$\sin x - x$ 的值接近于0，而 $x^3$ 的值也接近于0。因此，我们可以尝试使用等价无穷小替换：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \cdot \frac{\sin x + x}{\sin x + x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x - x)(\sin x + x)}{x^3(\sin x + x)}.$$
接下来，我们利用差平方公式将分子进行化简：
$$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x - x)(\sin x + x)}{x^3(\sin x + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^3(\sin x + x)}.$$
再次利用等价无穷小替换，当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^3(\sin x + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x^2}{x^3(\sin x + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^3(\sin x + x)} = 0.$$
因此，最终答案为0。
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