在18年数学三的考卷中，第17题是一道典型的概率论与数理统计题目。题目内容如下：
已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其中λ>0。随机变量Y与X相互独立，且Y服从参数为p的几何分布，其中p∈(0,1)。求随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
解题过程如下：
1. 首先求出Z的分布律。由于X和Y相互独立，所以Z的分布律可以表示为：
P(Z=k) = ΣP(X=i)P(Y=k-i)，其中i=0,1,2,...,k。
2. 根据泊松分布和几何分布的定义，有：
P(X=i) = e^(-λ)λ^i/i!，P(Y=k-i) = p(1-p)^(k-i-1)。
3. 将上述概率代入Z的分布律中，得到：
P(Z=k) = Σ(e^(-λ)λ^i/i!) * p(1-p)^(k-i-1)，其中i=0,1,2,...,k。
4. 对Z的分布律进行化简，得到：
P(Z=k) = e^(-λp)(λp)^k/k!，其中k=0,1,2,...。
5. 根据分布律，求出Z的分布函数F_Z(z)：
F_Z(z) = ΣP(Z=k)，其中k=0,1,2,...,z。
6. 将Z的分布律代入F_Z(z)中，得到：
F_Z(z) = e^(-λp) * Σ((λp)^k/k!)，其中k=0,1,2,...,z。
7. 利用指数函数的级数展开，得到：
F_Z(z) = e^(-λp) * (1 + λp + (λp)^2/2! + ... + (λp)^z/z!)。
8. 最终，得到Z的分布函数F_Z(z)为：
F_Z(z) = e^(-λp) * (1 - e^(-λp(1+z)))/(1 - e^(-λp))，其中z∈R。
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