在考研的数学备考过程中，以下是一些常见题型的答案解析：
1. 线性代数：求矩阵的逆，答案为 \(A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)\)，其中 \(\text{det}(A)\) 是矩阵 \(A\) 的行列式，\(\text{adj}(A)\) 是 \(A\) 的伴随矩阵。
2. 概率论：已知随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，则 \(X\) 的期望 \(E(X) = \mu\)，方差 \(Var(X) = \sigma^2\)。
3. 高等数学：计算定积分 \(\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx\)，答案为 \(-\frac{\pi^3}{3}\)。
4. 复变函数：求函数 \(f(z) = e^z\) 在 \(z = i\) 处的留数，答案为 \(e^i\)。
5. 数值分析：使用辛普森公式近似计算定积分 \(\int_0^1 x^3 \, dx\)，答案为 \(\frac{1}{4}\)。
6. 概率论与数理统计：设 \(X\) 和 \(Y\) 是相互独立的随机变量，\(X\) 服从标准正态分布，\(Y\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，求 \(P(X + Y = 2)\)。
解：由于 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，所以 \(P(X + Y = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 1)\)。
\(P(X = 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)，\(P(X = 1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-1/2}\)。
\(P(Y = 2) = \lambda^2 e^{-\lambda}\)，\(P(Y = 1) = \lambda e^{-\lambda}\)。
所以 \(P(X + Y = 2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lambda^2 e^{-\lambda} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lambda e^{-\lambda}\)。
7. 线性规划：求解线性规划问题 \(\max z = 2x + 3y\)，约束条件为 \(x + 2y \leq 4\)，\(x, y \geq 0\)。
解：通过绘制约束区域和目标函数的等高线，找到最优解在交点 \((x, y) = (2, 0)\)，此时 \(z = 4\)。
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