在考研数学的征途上，每一道难题都是一次成长的磨砺。以下是对一道典型考研数学题的领航答案解析：
题目：设函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
解析：
1. 首先求出 \( f(x) \) 的一阶导数：\( f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x) \)。
2. 求二阶导数：\( f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x\cos x \)。
3. 求三阶导数：\( f'''(x) = -2e^x\sin x \)。
4. 由于 \( f(0) = 0 \)，\( f'(0) = 1 \)，\( f''(0) = 2 \)，\( f'''(0) = 0 \)，我们可以写出 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式为：
\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + o(x^3) = 0 + x + \frac{2}{2}x^2 + \frac{0}{6}x^3 + o(x^3) = x + x^2 + o(x^3)
\]
通过以上步骤，我们得到了 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
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