在2015年数二的考研数学中，第18题是一道关于多元函数极值问题的题目。题目要求考生利用拉格朗日乘数法求解给定条件下的函数的极值。具体题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy \)，求在约束条件 \( x^2 + y^2 = 1 \) 下，函数 \( f(x, y) \) 的最大值和最小值。
解答过程如下：
1. 建立拉格朗日函数 \( L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda (x^2 + y^2 - 1) \)；
2. 求偏导数 \( \frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 2y + 2\lambda x = 0 \)，\( \frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 2x + 2\lambda y = 0 \)，\( \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0 \)；
3. 解得 \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}}, y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) 或 \( x = \frac{1}{\sqrt{2}}, y = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)；
4. 代入原函数 \( f(x, y) \)，得最大值为 \( 2 \)，最小值为 \( 0 \)。
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