在备战23考研数学二的征途上，模拟题是检验学习成果、查漏补缺的利器。以下是一份精心准备的数学二模拟题，助你一臂之力：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. $x=1$，$x=2$，$x=3$
B. $x=1$，$x=2$，$x=4$
C. $x=1$，$x=3$，$x=4$
D. $x=1$，$x=2$，$x=5$
2. 设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$，则$AB$的行列式为（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
3. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. $-1$
B. $1$
C. $0$
D. 无定义
4. 设$a$，$b$，$c$为实数，且$a+b+c=0$，则下列不等式中成立的是（ ）
A. $a^2 + b^2 + c^2 \geq 0$
B. $ab + bc + ca \geq 0$
C. $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq 0$
D. $a^3 + b^3 + c^3 \geq 0$
5. 设$f(x) = e^x - x$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. $x=0$
B. $x=1$
C. $x=e$
D. 无解
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$。
2. 设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
3. 设$f(x) = e^x - x$，则$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - x) = e^x - 1$。
4. 设$a$，$b$，$c$为实数，且$a+b+c=0$，则$a^2 + b^2 + c^2 \geq 0$。
5. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$。
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 求函数$f(x) = e^x - x$的单调区间。
2. 求矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的逆矩阵。
3. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^3}$。
4. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
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