在2021年考研数学一的第15题中，考生需要解决的是一个关于多元函数微分学的问题。题目要求求出函数$f(x,y) = x^2y^3$在点$(1,2)$处的全微分。解题的关键在于正确应用全微分的定义，即：
$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$
首先，计算偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2y^2$$
将点$(1,2)$代入上述偏导数中，得到：
$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = 2 \cdot 1 \cdot 2^3 = 16$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = 3 \cdot 1^2 \cdot 2^2 = 12$$
因此，函数$f(x,y)$在点$(1,2)$处的全微分$df$为：
$$df = 16dx + 12dy$$
这就是2021年考研数学一第15题的解答过程。
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