解题过程：
本题考查了二重积分的计算。首先，根据积分区域和被积函数的特点，采用极坐标进行积分。具体步骤如下：
1. 建立极坐标系，将原积分区域转化为极坐标区域。由于积分区域为圆形，因此有$r\in[0,2]$，$\theta\in[0,2\pi]$。
2. 将被积函数$\frac{1}{1+x^2}$转化为极坐标形式。由极坐标变换公式$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，得到$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\frac{1}{1+r^2}$。
3. 将积分转化为极坐标形式。将原积分$\iint_D\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$转化为极坐标下的积分$\int_0^{2\pi}\int_0^2\frac{1}{1+r^2}\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
4. 计算极坐标下的积分。先对$r$积分，再对$\theta$积分。
$$\int_0^{2\pi}\int_0^2\frac{1}{1+r^2}\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{2}\ln(1+r^2)\right]_0^2\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi}\ln(5)-\ln(1)\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi}\ln(5)\mathrm{d}\theta$$
5. 计算积分结果。由基本积分公式$\int\ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$，得到$\int_0^{2\pi}\ln(5)\mathrm{d}\theta=2\pi\ln(5)-2\pi$。
综上，本题的答案为$2\pi\ln(5)-2\pi$。
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