在考研数学一中，高数证明是考察学生逻辑思维和数学推理能力的核心部分。以下是一道典型的高数证明题目：
题目： 证明对于任意的实数 \( x \)，有 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\)。
证明：
1. 定义函数： 设 \( f(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \)，我们要证明 \(\lim_{n \to \infty} f(x) = e^x\)。
2. 应用自然对数： 为了简化问题，我们对函数取自然对数，得到 \( \ln f(x) = \ln \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = n \ln \left(1 + \frac{x}{n}\right) \)。
3. 利用泰勒展开： 当 \( n \to \infty \) 时，\(\ln \left(1 + \frac{x}{n}\right) \) 可以用泰勒公式展开为 \( \frac{x}{n} - \frac{x^2}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \)。
4. 代入并化简： 将泰勒展开式代入 \( \ln f(x) \) 得到 \( \ln f(x) = x - \frac{x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \)。
5. 求极限： 当 \( n \to \infty \) 时，\( \frac{x^2}{2n} \) 和 \( O\left(\frac{1}{n^2}\right) \) 均趋于 0，因此 \(\lim_{n \to \infty} \ln f(x) = x\)。
6. 指数化简： 由于 \( \ln f(x) \) 的极限为 \( x \)，则 \( f(x) \) 的极限为 \( e^x \)。
综上所述，我们证明了对于任意的实数 \( x \)，有 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\)。
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