在2007年的考研数学试题中，一道颇具代表性的题目如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的最大值和最小值。
解答：
首先，观察函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 的性质。由于 \( x^2 \geq 0 \)，所以 \( 1+x^2 \geq 1 \)，从而 \( f(x) \) 在 \( x \geq 0 \) 时始终大于 0。
接下来，考虑函数的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 0 \)。因此，\( x = 0 \) 是 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的唯一驻点。
进一步，分析 \( f'(x) \) 的符号：
- 当 \( x > 0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，说明 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
- 当 \( x = 0 \) 时，\( f'(x) = 0 \)。
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得最大值，最大值为 \( f(0) = 1 \)。同时，由于 \( f(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 上单调递减，故 \( f(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 上的最小值不存在。
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