陕师大考研数学二题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求其在区间$[1, 2]$上的最大值和最小值。
解答过程：
1. 求函数$f(x)$的导数：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{3}$。
3. 判断$x_1$和$x_2$是否为极值点。由于$f''(x) = 6x - 6$，$f''(1) = 0$，$f''(\frac{2}{3}) = 0$，所以$x_1$和$x_2$均为极值点。
4. 比较端点值和极值点处的函数值：$f(1) = 3$，$f(\frac{2}{3}) = \frac{5}{27}$，$f(2) = 3$。
5. 综上，函数$f(x)$在区间$[1, 2]$上的最大值为$3$，最小值为$\frac{5}{27}$。
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