在探索考研高等数学的奥秘时，以下是一道典型的试题及其详解：
试题：
设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x + 9}{x - 3} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 3 \) 处的导数。
解答：
首先，观察函数 \( f(x) \) 可以发现，它是一个分式函数，且在 \( x = 3 \) 处有间断点。为了求导，我们需要对函数进行简化。
由于 \( x^3 - 6x + 9 \) 可以分解为 \( (x - 3)^2(x + 3) \)，因此原函数可以写为：
\[ f(x) = \frac{(x - 3)^2(x + 3)}{x - 3} \]
在 \( x \neq 3 \) 的情况下，\( x - 3 \) 不为零，可以约去分子和分母中的 \( x - 3 \)，得到：
\[ f(x) = (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 \]
现在，我们对简化后的函数 \( f(x) = x^2 - 9 \) 在 \( x = 3 \) 处求导：
\[ f'(x) = 2x \]
\[ f'(3) = 2 \times 3 = 6 \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 3 \) 处的导数是 6。
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