考研数学第三讲笔记如下：
一、线性方程组
1. 克莱姆法则：当系数行列式不为零时，线性方程组有唯一解。
2. 高斯消元法：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，进而求出方程组的解。
3. 齐次线性方程组：系数行列式为零时，方程组有无穷多解。
二、矩阵
1. 矩阵的秩：矩阵中非零行的最大个数。
2. 矩阵的逆：若矩阵可逆，则其逆矩阵存在，且满足逆矩阵乘原矩阵等于单位矩阵。
3. 矩阵的行列式：计算方法有拉普拉斯展开、按行（列）展开等。
4. 矩阵的秩与行列式的关系：若矩阵可逆，则其秩等于矩阵的阶数；若矩阵不可逆，则其秩小于矩阵的阶数。
三、二次型
1. 二次型的标准型：通过配方法将二次型化为完全平方和的形式。
2. 二次型的正定性：若二次型的标准型中所有平方项系数均为正，则称该二次型为正定二次型。
3. 二次型的正定判定：利用惯性定理进行判定。
四、线性空间
1. 线性空间的概念：由向量及线性运算构成的集合。
2. 线性空间的基与维数：基是线性空间中线性无关的向量组，维数是基中向量的个数。
3. 线性空间的线性变换：将线性空间中的向量映射到另一个线性空间中的向量。
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