在考研数学的必考题中，第3题通常涉及函数的极限与连续性。假设题目如下：
题目： 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，在区间 \((0,1)\) 内可导，且满足 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)。证明：存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{\xi} \)。
解答思路：
1. 根据罗尔定理，由于 \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，可知 \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上必有极值点 \( \xi \)。
2. 分析 \( f(x) \) 在 \( \xi \) 处的导数 \( f'(\xi) \) 与 \( \frac{f(\xi)}{\xi} \) 的关系，利用拉格朗日中值定理进行证明。
解题步骤：
1. 由罗尔定理，存在 \( \xi \in (0,1) \) 使得 \( f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = 1 \)。
2. 由于 \( f(\xi) \neq 0 \)（否则 \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上恒为0，与 \( f(1) = 1 \) 矛盾），可得 \( f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{\xi} \)。
通过以上步骤，我们证明了存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{\xi} \)。
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