题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
解答：
1. 首先求函数 \( f(x) \) 的导数：\( f'(x) = x^2 - 4x + 3 \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 判断 \( f'(x) \) 的符号，发现当 \( x \in (1, 3) \) 时，\( f'(x) > 0 \)，因此 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上单调递增。
4. 由于 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上单调递增，所以 \( f(x) \) 的最大值为 \( f(3) \)，最小值为 \( f(1) \)。
5. 计算 \( f(3) = \frac{27}{3} - 2 \times 9 + 3 \times 3 = 0 \)，计算 \( f(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} \)。
6. 所以，\( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值为 0，最小值为 \( \frac{4}{3} \)。
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