考研数学证明题第二问，关键在于逻辑严密和论证清晰。以下是一例：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，证明：
（1）$f(x)$在区间$[0, 1]$上存在一个零点。
（2）$f(x)$在区间$[0, 1]$上存在一个点$x_0$，使得$f'(x_0) = 0$。
解答：
（1）首先，我们观察到$f(0) = 1 > 0$，$f(1) = -1 < 0$。根据零点定理，在连续函数$f(x)$的图像上，如果存在两个点$a$和$b$，使得$f(a) > 0$，$f(b) < 0$，则至少存在一个点$c \in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。由于$f(x)$在$[0, 1]$上连续，根据零点定理，$f(x)$在区间$[0, 1]$上存在一个零点。
（2）接下来，我们求$f(x)$的导数$f'(x) = 3x^2 - 3$。为了找到$f'(x_0) = 0$的点$x_0$，我们需要解方程$3x^2 - 3 = 0$。解得$x = \pm 1$。由于$x_0$必须在区间$[0, 1]$内，因此$x_0 = 1$。此时，$f'(1) = 0$。
综上，我们证明了$f(x)$在区间$[0, 1]$上存在一个零点，且存在一个点$x_0 = 1$，使得$f'(x_0) = 0$。
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