在2023年的考研高数二中，试题内容丰富，涵盖了极限、导数、积分、级数等多个重要知识点。以下是一道原创的典型高数二试题：
题目：已知函数$f(x)=\frac{x^3-3x}{x^2-1}$，求$f(x)$在$x=1$处的左导数和右导数。
解题过程：
1. 首先对$f(x)$进行因式分解，得到$f(x)=\frac{x(x^2-3)}{x^2-1}$。
2. 对$f(x)$求导，得到$f'(x)=\frac{(x^2-1)(3x^2-3)-x(2x)(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$。
3. 当$x=1$时，代入$f'(x)$的表达式，得到$f'(1)=\frac{(1^2-1)(3\cdot1^2-3)-1(2\cdot1)(1^2-3)}{(1^2-1)^2}$。
4. 化简上式，得到$f'(1)=\frac{0-2}{0}$，由于分母为0，因此$f'(1)$不存在。
5. 接下来求$f(x)$在$x=1$处的左导数和右导数。当$x$趋近于1时，$f(x)$的左导数为$\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$，右导数为$\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。
6. 由于$f(1)=\frac{1^3-3\cdot1}{1^2-1}=0$，代入左导数和右导数的表达式中，得到左导数为$\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\frac{x(x^2-3)}{x^2-1}}{x-1}$，右导数为$\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\frac{x(x^2-3)}{x^2-1}}{x-1}$。
7. 化简左导数和右导数的表达式，得到左导数为$\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x^3-3x}{(x+1)(x-1)^2}$，右导数为$\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x^3-3x}{(x-1)^2(x+1)}$。
8. 当$x$趋近于1时，$(x+1)$和$(x-1)^2$均趋近于0，因此左导数和右导数均不存在。
综上所述，$f(x)$在$x=1$处的左导数和右导数均不存在。
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