在胚胎质量管理领域，考研数学的题目往往涉及概率论与数理统计的应用。以下是一个原创的考研数学题目：
题目： 设有一批胚胎，其成活率 \( P(A) \) 随时间 \( t \) 的变化可近似表示为 \( P(A) = e^{-kt} \)，其中 \( k \) 为常数，且 \( k > 0 \)。现从这批胚胎中随机选取10个进行实验，求这10个胚胎全部成活的概率。
解答过程：
1. 概率密度函数的求解： 根据题目条件，胚胎的成活率 \( P(A) \) 是一个指数分布，其概率密度函数为 \( f(t) = k e^{-kt} \)，其中 \( t \geq 0 \)。
2. 独立事件的概率计算： 由于每个胚胎的成活与否是相互独立的，因此10个胚胎全部成活的概率为各自成活概率的乘积，即 \( P(\text{全部成活}) = P(A)^{10} \)。
3. 代入公式计算： 将 \( P(A) = e^{-kt} \) 代入上式，得到 \( P(\text{全部成活}) = (e^{-kt})^{10} = e^{-10kt} \)。
4. 结论： 所以，这10个胚胎全部成活的概率为 \( e^{-10kt} \)。
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