在探索小谷数学课的考研题目时，我们发现了一系列极具挑战性的问题，旨在锻炼学生的逻辑思维和计算能力。以下是一例：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 6$，求证：$f(x)$在实数范围内至少有一个零点。
解答思路：首先，我们可以尝试分析函数的性质，如单调性、奇偶性等，来寻找零点的存在性。然后，利用导数研究函数的极值，进一步确定零点的具体位置。
解答过程：
Step 1：观察函数的奇偶性。由于$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4(-x) + 6 = -x^3 + 3x^2 - 4x + 6 = -(x^3 - 3x^2 + 4x + 6) = -f(x)$，可知函数$f(x)$为奇函数。
Step 2：考虑函数的值域。由于$f(x)$是奇函数，且当$x \to +\infty$时，$f(x) \to +\infty$；当$x \to -\infty$时，$f(x) \to -\infty$。因此，$f(x)$在实数范围内必定存在零点。
Step 3：求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
Step 4：分析$f'(x)$的正负性。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$。因此，$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得极大值，在$x = 1$处取得极小值。
Step 5：计算$f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} - \frac{4}{9} + \frac{8}{3} + 6 = \frac{150}{27} > 0$，$f(1) = 1 - 3 + 4 + 6 = 8 > 0$。
Step 6：由于$f(x)$在实数范围内存在零点，且在$x = \frac{2}{3}$和$x = 1$处均大于0，因此根据零点存在性定理，$f(x)$在实数范围内至少存在一个零点。
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