在数学二的考研真题中，第17题往往是一道综合性的题目，可能涉及极限、导数、积分、线性代数或概率论等多个数学分支。以下是对这类题目的一个原创解答思路：
题目：已知函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。若$\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{2}$，求证：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2$。
解答思路：
1. 利用积分中值定理，存在$\eta \in (0,1)$，使得$\int_0^1 f(x) \, dx = f(\eta)$。根据题意，$f(\eta) = \frac{1}{2}$。
2. 由拉格朗日中值定理，在区间$[0,\eta]$上，存在$\xi_1 \in (0,\eta)$，使得$f'(\xi_1) = \frac{f(\eta) - f(0)}{\eta - 0} = \frac{1/2 - 0}{\eta} = \frac{1}{2\eta}$。
3. 同理，在区间$[\eta,1]$上，存在$\xi_2 \in (\eta,1)$，使得$f'(\xi_2) = \frac{f(1) - f(\eta)}{1 - \eta} = \frac{1 - 1/2}{1 - \eta} = \frac{1}{2(1-\eta)}$。
4. 由于$f'(\xi_1)$和$f'(\xi_2)$都是$f'(x)$在区间$(0,1)$内的值，且$\xi_1, \xi_2 \in (0,1)$，根据介值定理，存在$\xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2$。
综上所述，存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2$。
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