在零基础备考考研数学的过程中，案例分析是提高解题能力的重要手段。以下是一个典型案例分析，帮助考生突破数学难题。
案例：线性代数中的矩阵运算
问题：设矩阵A为
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]
求矩阵A的逆矩阵。
解题步骤：
1. 确定矩阵A的行列式是否为零。计算行列式：
\[ \text{det}(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \]
由于行列式不为零，矩阵A可逆。
2. 计算伴随矩阵A的伴随矩阵A'。伴随矩阵A'的元素由A的代数余子式组成，即：
\[ A' = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \]
3. 求矩阵A的逆矩阵。逆矩阵A的元素为A'的各元素除以A的行列式：
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot A' = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \]
通过以上步骤，我们成功求得了矩阵A的逆矩阵。这个案例展示了线性代数中矩阵运算的解题思路，有助于考生在备考过程中提高解题能力。
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