23考研数学二第20题：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + ax + b \)，其中 \( a, b \) 为常数。若 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的最大值为 \(\frac{3}{4}\)，最小值为 \(-\frac{1}{4}\)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。
【解题过程】
1. 对函数 \( f(x) \) 求导得 \( f'(x) = x + a \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = -a \)。
3. 根据 \( x = -a \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的位置，分情况讨论：
a. 当 \( -1 \leq -a \leq 1 \) 时，即 \( -1 \leq a \leq 1 \)，此时 \( f(x) \) 在 \( x = -a \) 处取得最大值。将 \( x = -a \) 代入 \( f(x) \)，得 \( f(-a) = \frac{1}{2}(-a)^2 + a(-a) + b = -\frac{a^2}{2} + b \)。因为 \( f(x) \) 的最大值为 \(\frac{3}{4}\)，所以 \( -\frac{a^2}{2} + b = \frac{3}{4} \)。
b. 当 \( a < -1 \) 或 \( a > 1 \) 时，\( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 的端点取得最大值。分别代入 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \)，得 \( f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 - a + b = b - a - \frac{1}{2} \) 和 \( f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + a + b = b + a + \frac{1}{2} \)。因为 \( f(x) \) 的最大值为 \(\frac{3}{4}\)，所以 \( b - a - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \) 或 \( b + a + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \)。
4. 同理，对 \( f(x) \) 的最小值进行讨论，得 \( b + \frac{a^2}{2} = -\frac{1}{4} \)。
5. 解以上方程组，得 \( a = -1 \)，\( b = \frac{1}{2} \)。
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