在探索考研数学一的奥秘时，以下是一道典型的试题及其答案：
试题：
设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
答案：
首先，计算 \( f(x) \) 及其前几阶导数在 \( x=0 \) 处的值：
- \( f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \)
- \( f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)，则 \( f'(0) = 0 \)
- \( f''(x) = \frac{2(1-3x^2)}{(1+x^2)^3} \)，则 \( f''(0) = 2 \)
根据泰勒展开公式，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots \]
代入已知值，得：
\[ f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{2}{2}x^2 + \cdots = 1 + x^2 + \cdots \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项为 \( 1, 0, x^2 \)。
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