2017年考研数学二第17题是一道关于多元函数微分学的题目。题目给出一个多元函数$f(x,y)$，要求在点$(x_0,y_0)$处求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$，并已知$f(x_0,y_0)=0$。此外，题目还提供了$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分表达式。
解题思路如下：
1. 利用全微分公式：$\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y$。
2. 由题意知，$f(x_0,y_0)=0$，代入全微分公式，得$\mathrm{d}f = 0$。
3. 由于$\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y$，所以$\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y = 0$。
4. 根据上述等式，可得$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
5. 利用隐函数求导法则，对$f(x_0,y_0)=0$两边求偏导，得$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
6. 将第4步得到的等式代入第5步得到的等式，得$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$。
7. 由此可得$\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = -\frac{\partial f}{\partial y}$。
8. 由于$\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = -\frac{\partial f}{\partial y}$，所以$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
9. 综上所述，$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
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