在24考研数学二中，第19题可能是一道涉及多元函数微分学的题目。假设题目如下：
题目：已知函数 \( f(x, y) = x^2e^y \)，求在点 \( (1, 0) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) 的方向导数。
解答：
首先，计算函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 0) \) 处的偏导数：
\[ f_x'(x, y) = 2xe^y \]
\[ f_y'(x, y) = x^2e^y \]
在点 \( (1, 0) \) 处，有：
\[ f_x'(1, 0) = 2 \cdot 1 \cdot e^0 = 2 \]
\[ f_y'(1, 0) = 1^2 \cdot e^0 = 1 \]
接下来，计算向量 \( \mathbf{v} \) 的单位向量：
\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]
\[ \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
最后，计算方向导数：
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 0) = f_x'(1, 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + f_y'(1, 0) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \]
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 0) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \]
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 0) = \frac{2 + 2}{\sqrt{5}} \]
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 0) = \frac{4}{\sqrt{5}} \]
因此，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 0) \) 沿向量 \( \mathbf{v} \) 的方向导数为 \( \frac{4}{\sqrt{5}} \)。
【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助你高效备考，轻松上分！立即下载，开启你的考研刷题之旅！微信搜索“考研刷题通”，开启高效学习模式！