第五讲：高等数学之极限与连续性
一、极限的概念
极限是高等数学中的一个基本概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。本讲主要介绍极限的定义、性质和运算法则。
二、极限的性质
1. 极限存在性：如果函数f(x)在x=c的某个邻域内有定义，且当x趋向于c时，f(x)的极限存在，则称f(x)在x=c处极限存在。
2. 极限的有界性：如果函数f(x)在x=c的某个邻域内有定义，且当x趋向于c时，f(x)的极限存在，则称f(x)在x=c处极限有界。
3. 极限的保号性：如果函数f(x)在x=c的某个邻域内有定义，且当x趋向于c时，f(x)的极限存在，则称f(x)在x=c处极限保号。
三、极限的运算法则
1. 乘法法则：若极限lim[f(x)g(x)]存在，则lim[f(x)]和lim[g(x)]存在，且lim[f(x)g(x)] = lim[f(x)] * lim[g(x)]。
2. 除法法则：若极限lim[f(x)/g(x)]存在，且lim[g(x)] ≠ 0，则lim[f(x)]和lim[g(x)]存在，且lim[f(x)/g(x)] = lim[f(x)] / lim[g(x)]。
3. 加法法则：若极限lim[f(x) + g(x)]存在，则lim[f(x)]和lim[g(x)]存在，且lim[f(x) + g(x)] = lim[f(x)] + lim[g(x)]。
4. 减法法则：若极限lim[f(x) - g(x)]存在，则lim[f(x)]和lim[g(x)]存在，且lim[f(x) - g(x)] = lim[f(x)] - lim[g(x)]。
四、连续性
函数f(x)在x=c处连续，意味着当x趋向于c时，f(x)的极限等于f(c)。函数的连续性是数学分析中的一个重要概念，它保证了函数在某个点的值与其极限值相等。
五、连续函数的性质
1. 如果函数f(x)在x=c处连续，那么f(x)在x=c处的极限存在。
2. 如果函数f(x)在x=c处连续，那么f(x)在x=c处的导数存在。
3. 如果函数f(x)在x=c处连续，那么f(x)在x=c处的积分存在。
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