第五讲：高等数学中的极限问题
一、讲义概述
本次讲座将重点讲解高等数学中极限问题的处理方法。极限问题是考研数学中非常重要的一部分，也是考研学子普遍感到困惑的内容。通过本次讲座，我们将系统地分析极限问题的解题思路和方法，帮助同学们更好地应对考研数学中的极限问题。
二、课程内容
1. 极限的定义和性质
2. 无穷小量和无穷大量
3. 极限的运算法则
4. 常见极限的计算方法
5. 极限存在的证明
三、实例解析
1. 极限定义的应用
例1：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解析：根据极限的定义，我们有
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1。
$$
2. 无穷小量和无穷大量的应用
例2：求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$。
解析：由于 $\cos x$ 在 $x \to 0$ 时是无穷小量，故有
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2(\frac{x}{2})^2}{x^2} = \frac{1}{2}。
$$
3. 极限的运算法则
例3：求 $\lim_{x \to 0} (2x + \sin x)$。
解析：根据极限的运算法则，我们有
$$
\lim_{x \to 0} (2x + \sin x) = \lim_{x \to 0} 2x + \lim_{x \to 0} \sin x = 0 + 0 = 0。
$$
4. 常见极限的计算方法
例4：求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x}$。
解析：由于 $1 - \sqrt{1 - x^2}$ 是一个常见的无穷小量，故有
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}(-x^2)}{x} = -\frac{1}{2}。
$$
5. 极限存在的证明
例5：证明 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
证明：由于 $\sin x$ 和 $x$ 都是连续函数，故有
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\lim_{x \to 0} \sin x}{\lim_{x \to 0} x} = \frac{0}{0}。
$$
由洛必达法则，我们有
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1。
$$
四、总结
通过本次讲座，我们学习了极限问题的处理方法，包括极限的定义、性质、运算法则、常见极限的计算方法以及极限存在的证明。希望同学们通过本次讲座，能够更好地掌握极限问题的解题技巧，为考研数学的备考打下坚实基础。
五、课后练习
1. 求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2}$。
2. 证明 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$。
3. 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$。
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