在备战考研的关键时期，精准练习接近真题的数学题至关重要。以下是一道精心设计的数学题目，旨在帮助考生熟悉考研数学的命题风格和难度。
题目：设函数 \( f(x) = \frac{e^x}{1+x} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
解题过程：
1. 计算 \( f(0) \)：直接代入 \( x=0 \)，得 \( f(0) = \frac{e^0}{1+0} = 1 \)。
2. 计算 \( f'(x) \)：使用商的求导法则，得 \( f'(x) = \frac{e^x(1+x) - e^x}{(1+x)^2} = \frac{e^x}{(1+x)^2} \)。
3. 计算 \( f'(0) \)：代入 \( x=0 \)，得 \( f'(0) = \frac{e^0}{(1+0)^2} = 1 \)。
4. 计算 \( f''(x) \)：对 \( f'(x) \) 再次求导，得 \( f''(x) = \frac{e^x(1+x)^2 - 2e^x(1+x)}{(1+x)^4} = \frac{e^x(1-x)}{(1+x)^3} \)。
5. 计算 \( f''(0) \)：代入 \( x=0 \)，得 \( f''(0) = \frac{e^0(1-0)}{(1+0)^3} = 1 \)。
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项为 \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)。
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