在19考研数学一的第16题中，考生需要解决的是一个关于多元函数极限的问题。题目要求求解函数 \( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} \) 当 \( (x, y) \) 趋近于原点时的极限。通过分析，我们可以发现，当 \( x \) 和 \( y \) 同时趋向于0时，原函数的极限并不存在，因为沿不同路径趋向原点时，极限值会不同。具体来说，沿 \( y = mx \) 的路径，极限为 \( \frac{m}{1+m^2} \)，而沿 \( y = x \) 的路径，极限为 \( \frac{1}{2} \)。因此，根据多路径极限不唯一的原则，我们可以得出结论：该极限不存在。
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