22届考研数学二真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续的是（ ）
A. $f(x) = \frac{1}{x}$，定义域为$x \neq 0$
B. $f(x) = \sqrt{x}$，定义域为$x \geq 0$
C. $f(x) = |x|$，定义域为全体实数
D. $f(x) = e^x$，定义域为全体实数
2. 设$f(x) = x^2 - 3x + 2$，则$f(-1)$的值为（ ）
A. -2
B. 0
C. 1
D. 2
3. 下列极限中，存在的是（ ）
A. $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
B. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
C. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$
D. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}$
二、填空题
1. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$。
2. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{x^a} = \infty$。
三、解答题
1. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值。
解：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，得$x = \pm 1$。
当$x < -1$时，$f'(x) > 0$；当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$。
所以，$f(x)$在$x = -1$处取得极大值$f(-1) = 2$，在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 0$。
2. 求曲线$y = e^x$与直线$y = x$在$x = 0$处的切线方程。
解：$y = e^x$在$x = 0$处的导数为$y' = e^0 = 1$。
所以，切线方程为$y - 1 = 1(x - 0)$，即$y = x + 1$。
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