在数学考研大题中，第一题往往是一道综合性较强的题目，以下是一个原创的题目示例：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \)，其中 \( x > 0 \)。求证：
（1）函数 \( f(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上存在唯一零点；
（2）若 \( x_0 \) 为 \( f(x) \) 的唯一零点，求 \( x_0 \) 的值，并证明 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处取得极小值。
解答：
（1）首先证明 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上存在唯一零点。由于 \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^2} \)，可知当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增；当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。又因为 \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \)，\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上存在唯一零点。
（2）设 \( x_0 \) 为 \( f(x) \) 的唯一零点，即 \( f(x_0) = 0 \)。则 \( \frac{1}{x_0} + \ln(x_0) = 0 \)，解得 \( x_0 = e^{-1} \)。接下来证明 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处取得极小值。由于 \( f''(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2} = \frac{2-x}{x^3} \)，可知当 \( x > 2 \) 时，\( f''(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 凸；当 \( 0 < x < 2 \) 时，\( f''(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 凹。因此，\( f(x) \) 在 \( x_0 = e^{-1} \) 处取得极小值。
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