在探讨考研数学中导数与极限的定义题时，我们常遇到的是对函数在某一点处导数存在的判断和极限值的求解。以下是一道典型的考研数学导数极限定义题：
题目：已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求证：在$x=1$处$f(x)$的导数存在，并求出其值。
解题步骤：
1. 根据导数的定义，设$\Delta x$为一个无穷小的增量，计算$f(x)$在$x=1$处的增量$\Delta y$：
$$\Delta y = f(1+\Delta x) - f(1) = (1+\Delta x)^3 - 3(1+\Delta x) + 2 - (1^3 - 3 \times 1 + 2)$$
$$= 3\Delta x + 3\Delta x^2 + \Delta x^3 - 3\Delta x$$
$$= 3\Delta x^2 + \Delta x^3$$
2. 计算导数的极限，即：
$$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x^2 + \Delta x^3}{\Delta x}$$
$$= \lim_{\Delta x \to 0} (3\Delta x + \Delta x^2)$$
3. 当$\Delta x \to 0$时，$3\Delta x + \Delta x^2 \to 0$，因此：
$$f'(1) = 0$$
结论：在$x=1$处，函数$f(x)$的导数存在，且其值为$0$。
【考研刷题通】微信考研刷题小程序，覆盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，备战考研！立即加入，开启高效学习之旅！【考研刷题通】