在数学一考研真题中，一道典型的题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \) 的导函数为 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。求函数 \( f(x) \) 的极值点，并讨论其单调性和凹凸性。
解答：首先，求 \( f(x) \) 的导数，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。令 \( f'(x) = 0 \) 求得极值点。解方程 \( 3x^2 - 6x + 4 = 0 \)，得到 \( x = 1 \) 和 \( x = \frac{2}{3} \) 为极值点。
接着，求 \( f''(x) \) 判断凹凸性。计算得 \( f''(x) = 6x - 6 \)。当 \( x = 1 \) 时，\( f''(x) = 0 \)，此时 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值。当 \( x = \frac{2}{3} \) 时，\( f''(x) = 0 \)，此时 \( f(x) \) 在 \( x = \frac{2}{3} \) 处取得极大值。
最后，分析单调性。当 \( x < \frac{2}{3} \) 或 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增；当 \( \frac{2}{3} < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。
【考研刷题通】——你的考研刷题利器！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题题库助你轻松备战！立即关注，开启高效备考之旅！🎓📚📈