全微分方程在考研数学三中占据重要地位，它不仅考察了考生对微分方程基本概念的理解，还考验了其运用微分方程解决实际问题的能力。在复习过程中，考生应熟练掌握全微分方程的求解方法，包括直接积分法、隐函数法等。以下是一些典型例题解析：
1. 例题一：求解微分方程 \(dx + 2xy\,dy = 0\)。
解析：这是一个全微分方程，可以将其改写为 \(\frac{dx}{dy} = -2xy\)。通过分离变量，得到 \(\int \frac{dx}{x^2} = -2\int y\,dy\)，进而求得 \(x^{-2} = -y^2 + C\)，即 \(x^2 = \frac{1}{y^2 - C}\)。
2. 例题二：已知函数 \(f(x, y)\) 在区域 \(D\) 内具有连续偏导数，且 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)，求全微分方程 \(\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = 0\) 的解。
解析：首先计算偏导数，得到 \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\)，\(\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\)。代入全微分方程，得到 \(2x\,dx + 2y\,dy = 0\)，即 \(x\,dx + y\,dy = 0\)。分离变量并积分，得到 \(\int x\,dx + \int y\,dy = C\)，即 \(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C\)。
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