2004年数学2考研真题答案如下：
一、填空题（每题5分，共25分）
1. \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\) 的值为 \(\frac{\pi}{2}\)。
2. \(\int x^3 dx\) 的原函数为 \(\frac{1}{4}x^4+C\)。
3. 二阶线性常系数齐次方程 \(y''-4y=0\) 的通解为 \(y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}\)。
4. 函数 \(f(x)=x^3\) 在区间 \([-1,1]\) 上的定积分值为 \(\frac{2}{3}\)。
5. 向量 \(\vec{a}=(1,2,3)\) 与向量 \(\vec{b}=(3,2,1)\) 的叉乘结果为 \((-1,3,1)\)。
二、选择题（每题5分，共25分）
1. 下列函数中，可导的函数是：
A. \(f(x)=|x|\)
B. \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)
C. \(f(x)=\frac{1}{x}\)
D. \(f(x)=\sqrt{x}\)
答案：D
2. 函数 \(f(x)=e^x\) 的反函数是：
A. \(y=e^x\)
B. \(y=\ln x\)
C. \(y=e^{-x}\)
D. \(y=-\ln x\)
答案：B
3. 设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，\(A^2=0\)，则 \(A\) 的行列式值为：
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(A\) 的任意值
D. \(n\)
答案：A
4. 若 \(x=2\) 是函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 的一个极值点，则 \(a+b+c\) 的值为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
答案：B
5. 设 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(n\) 阶可逆矩阵，则 \(AB^{-1}\) 的逆矩阵是：
A. \(B^{-1}A^{-1}\)
B. \(A^{-1}B^{-1}\)
C. \(A^{-1}B\)
D. \(AB\)
答案：B
三、解答题（共100分）
1.（10分）求函数 \(f(x)=x^3-3x+2\) 的导数。
解：\(f'(x)=3x^2-3\)
2.（15分）求定积分 \(\int (2x+1)dx\)。
解：\(\int (2x+1)dx=x^2+x+C\)
3.（20分）设 \(A\) 为 \(3\) 阶可逆矩阵，\(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&-1\\-1&3&2\end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\)。
解：\(A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&-1\\-1&3&2\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1&3\\-1&2&1\\-1&-2&1\end{bmatrix}\)
4.（25分）设 \(A\) 和 \(B\) 为 \(3\) 阶矩阵，\(AB=0\)，求证：\(\det(A)\) 和 \(\det(B)\) 至少有一个为0。
证明：假设 \(\det(A)\) 和 \(\det(B)\) 均不为0，则 \(A\) 和 \(B\) 均可逆，从而 \(AB=0\) 导致矛盾。
5.（30分）求方程组 \(x+y+z=2, x+2y+3z=5, 2x+y+4z=8\) 的通解。
解：\(x=1, y=1, z=0\)
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