关键词：极限、洛必达法则、函数连续性
解题过程：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解答：
首先，我们观察到这是一个典型的“$\frac{0}{0}$”型未定式，可以使用洛必达法则求解。
根据洛必达法则，我们有：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}.$$
由于 $\cos 0 = 1$，所以：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$
接下来，我们证明函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处连续。
首先，我们知道 $\sin x$ 在 $x=0$ 处连续，因为 $\sin x$ 是一个周期函数。
其次，我们需要证明 $x$ 在 $x=0$ 处连续。由于 $x$ 是一个一次函数，它在任何点都连续。
因此，根据连续函数的乘积性质，我们有：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}.$$
由于 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，我们可以得出结论：函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处连续。
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